Analyse en Composantes Principales (ACP)

L'objectif, lorsque l'on réalise une ACP,  est de réduire les données, c'est-à-dire avoir une méthode pour obtenir un nombre réduit de composantes non corrélées. En terme clair c'est une technique d'analyse de données qui consiste à transformer des variables corrélées entres elles en nouvelles variables (composantes) non corrélées. Il faut savoir que :

→Le nombre de composantes extrait est initialement  identique au nombre des variables initiales (et explique toute la variance du nuage des points dans l'espace à n dimensions défini par les variables initiales) mais, en pratique, on interprétera uniquement les premières composantes qui sont par construction (cf. plus loin)  les plus explicatives (qui rendent compte d'une part significative de la variance). 

→Lors de l'extraction les composantes (première étape de l'analyse) sont définies comme indépendantes les unes des autres (« orthogonaux »). La position d'un individu sur une composante (i.e. un facteur) n'implique en rien sa position sur une autre composante.  

→Une hypothèse complémentaire est ajoutée pour permettre de résoudre le système : la première composante doit expliquer le plus de variance possible (i.e doit être au plus près de tous les points du nuage de points. La seconde (orthogonale à la première) doit expliquer le plus de la variance non expliquée, la troisième composante le plus de variance non expliquée par les deux premières, etc. 

→Enfin, le plus souvent, l'analyse est faite sur des variables centrées-réduites (note z). En effet, si les variables n'étaient pas réduites et qu'une des variables avait une variance plus importante que les autres (quantitativement), la première composante aurait naturellement tendance à expliquer cette variable (cf. ci-dessus). Les réduire (ramener la variance à 1) fait que toutes les variables ont le même poids dans l'analyse.

 En pratique, pour effectuer une ACP, on doit successivement (démarche générale simplifiée et ce sont ces éléments que nous allons reprendre dans les parties suivantes) :

•construire ou sélectionner une batterie d'épreuves ou de mesures. 

•sélectionner la population sur laquelle on administre ces épreuves. 

•calculer la corrélation entre les scores pour toutes les paires de tests ; on obtient ainsi une matrice de corrélations.

•effectuer la première étape de l'ACP (via un logiciel d'analyse) et on s'intéresse plus particulièrement au tableau des valeurs propres mais aussi l'évolution des communautés en fonction du nombre de composantes que l'on pourrait retenir. 

•décider du nombre de composantes (facteurs) à retenir. 

•vérifier que les épreuves sont bien expliquées par ce système de facteurs (le pourcentage de variance cumulée expliqué par les facteurs doit être proche des communautés observées avec les facteurs retenus). 

•décider si on va procéder à une rotation des facteurs obtenus. Il s'agit de passer de facteurs initiaux à de nouveaux facteurs plus aisément interprétables.

•interpréter les facteurs/composantes.