Courbe de vraisemblance

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Pour un test de n items dichotomiques (avec 1=réussite et 0=échec], on peut avoir 2n profil de réponses (par exemple pour 3 items (A1,A2,A3), les profils de réponses sont au nombre de 23=8 : [0,0,0), [0,0,1], [0,1,0], [0,1,1], [1,0,0], [1,0,1], [1,1,0], [1,1,1]). Puisque l'on connaît les CCI des items, on peut calculer la probabilité p(x) de chacun de ces profils pour chaque valeur de θ (thêta) en utilisant la propriété d'indépendance locale et le théorème qui dit que la probabilité que plusieurs événements indépendants se produisent est égal au produit de leur probabilité.

p(E1 ...Ej...En) = Πjp(Ej)

Dans notre exemple avec 3 items, la probabilité de l'événement [0,1,0], pour une valeur de θ = 1 par exemple sur le trait latent, sera donc le produit de la probabilité de réussite à l'item A2 et la probabilité d'échec à l'item A1 et A3, calculer à partir des CCI de chaque item pour la valeur θ = 1. Sachant que la probabilité d'échec est égale à un moins la probabilité de réussite [p(Ai/θj)] donnée par la CCI, on a dans notre exemple :

p([0,1,0]/θj=1) = [1-p([A1]/θj=1)] *[p([A2]/θj=1)]*[1-p([A3]/θj=1)]

On peut calculer cette probabilité pour chaque valeur de thêta (de -3 à +3) et obtenir ainsi, pour un profil de réponse donné, une courbe de vraisemblance (cf. schéma ci-dessous). Cette courbe passe par un maximum qui correspond à la valeur θ qui sera attribuée à la personne qui a ce profil de réponse. Dans l'exemple ci-dessous, ce score, pour le profil [A1,A2,A3]=[0,1,0] est de 1.14.

Figure E.8 :  Courbe de vraisemblance pour la configuration de réponse à 3 items [0,1,0]


Remarque : ce qui permet de déterminer le niveau n'est plus la somme des scores (points obtenus = performance) mais le profil des scores. Le même total de points, qui dans une perspective classique correspond à une seule performance, peut correspondre à deux niveaux de thêta différents donc à des positionnements différents sur le trait latent.