Décomposition linéaire

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Le modèle utilisé en analyse factorielle est un modèle linéaire. Pour expliquer son utilisation nous n'effectuerons pas une démonstration vraiment formelle, la formation initiale des psychologues en statistiques n'étant pas suffisante dans ce domaine. Le principe général de l'AFE ou de l'ACP est de postuler que les variables observées sont des combinaisons linéaires de variables que l'on appellent soit composantes ou facteurs (variables latentes sous-jacentes) selon la méthode utilisée et le contexte de la recherche.

Pour illustrer la démarche et comprendre les principes généraux,  imaginons que deux facteurs (dimensions psychologiques théoriques), V et W, expliquent les corrélations observées entre 5 mesures (des tests par exemple, X1 à X5). La position d'un individu sur l'un des cinq tests s'explique alors par la position de l'individu dans chacun des facteurs (la note sur ces facteurs hypothétiques), et par sa position dans un facteur spécifique à ce test (nous nous placerons ici dans le cadre du modèle d'analyse factorielle en facteurs communs et spécifiques) c'est à dire par sa position sur un des facteurs non communs aux 5 tests. Cette hypothèse se traduit en algèbre par une équation de décomposition :

Xki = akV i + bkW i + ckSk i

avec

Xki , le score observé pour le sujet i dans l'épreuve k.

V, W et Sk sont les positions du sujet i sur les 3 facteurs (V, W et Sk le facteur spécifique de l'épreuve k).

ak, bk, ck, le poids de ces facteurs pour l'épreuve k

Cette décomposition traduit le fait, si nous prenons en considération les réponses (plus exactement la variance des réponses) au test Xk, que :

Cette équation revient donc à expliquer, en la décomposant, le score observé au test Xk et donc la variance de Xk. Pour un sujet i, son obtient donc, pour 5 épreuves, 5 équations :

X2 i = a2V i + b2W i + c2S2 i

X3 i = a3V i + b3W i + c3S3 i

X4 i = a4V i + b4W i + c4S4 i

X5 i = a5V i + b5W i + c5S5 i

Remarques :