Décomposition linéaire

Décomposition linéaire

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Le modèle utilisé en analyse factorielle est un modèle linéaire. Le principe général de l'Analyse factorielle exploratoire (AFE) par exemple est de postuler que les variables observées sont des combinaisons linéaires de variables que l'on appellent facteurs (variables latentes sous-jacentes).

Pour illustrer la démarche et comprendre les principes généraux,  imaginons que deux facteurs (dimensions psychologiques théoriques), V et W, expliquent les corrélations observées entre 5 mesures (des tests par exemple, X1 à X5). La position d'un individu sur l'un des cinq tests s'explique alors par la position de l'individu dans chacun des facteurs (la note sur ces facteurs hypothétiques), et par sa position dans un facteur spécifique à ce test (nous nous placerons ici dans le cadre du modèle d'analyse factorielle exploratoire) c'est à dire par sa position sur un des facteurs non communs aux 5 tests. Cette hypothèse se traduit en algèbre par une équation de décomposition :

Xki = akV i + bkW i + ckSk i

avec

Xki , le score observé pour le sujet i dans l'épreuve k.

V, W et Sk sont les positions du sujet i sur les 3 facteurs (V, W et Sk le facteur spécifique de l'épreuve k).

ak, bk, ck, le poids de ces facteurs pour l'épreuve k


Cette décomposition traduit le fait, si nous prenons en considération les réponses (plus exactement la variance des réponses) au test Xk, que :

®le facteur V explique une partie de la variance Xk (et ce d'autant plus que ak sera grand)

®le facteur W explique une autre partie de la variance Xk (et ce d'autant plus que bk sera grand)

®le facteur Sk, explique la variance inexpliquée par V et W et spécifique à l'épreuve Xk (correspond souvent à un ou des facteurs spécifiques c'est à dire non commun aux autres variables auquel s'ajoute un facteur aléatoire qui est l'erreur de mesure).

Cette équation revient donc à expliquer, en la décomposant, le score observé au test Xk et donc la variance de Xk. Pour un sujet i, on obtient donc pour 5 épreuves, 5 équations :

X2 i = a2V i + b2W i + c2S2 i

X3 i = a3V i + b3W i + c3S3 i

X4 i = a4V i + b4W i + c4S4 i

X5 i = a5V i + b5W i + c5S5 i

Remarque :

Pour l'analyse en composantes principales, le principe est légèrement différent. Les p variables (Xi) manifestes sont transformées en autant (p) de composantes (Ci) et c'est chaque composante qui est une combinaison linéaire des variables.

Ck = a1kX1 + a2kX2 + ... + apkXp

Dans l'interprétation des résultats, seules les premières composantes extraites (on parle souvent de facteurs mais ce sont ici des composantes) seront cependant pris en compte (voir : fixer le nombre de facteurs).